ارزش زمانی پول — بهره مرکب، تنزیل و ریاضیات مالی

مفهوم بنیادین ارزش زمانی پول، نرخ بهره مرکب، ارزش فعلی و آتی و کاربرد در مسائل مالی واقعی.

نکات کلیدی این فصل

• ارزش زمانی پول و ریاضیات مالی ارزش زمانی پول نرخ بهره مرکب تنزیل کاربرد بهره مرکب و تنزیل ارزش زمانی پول ارزش زمانی پول مفهومی است که براساس آن مقدار مشخص پول در حال حاضر ارزش بیشتری نسبت به همان مقدار مشخص پول در آینده دارد
• به بیان ساده، یک ریال امروز از یک ریال فردا ارزشمندتر است .
• ارزش زمانی پول یکی از اصول بنیادین دانش مالی است .
• بهره پول، همان قیمت پول به دلیل دارا بودن ارزش زمانی است .
• ارزش زمانی پول بنابراین، بهره قیمتی است که در ازای استفاده از پول در یک دوره پرداخت می شود.
• نرخ بهره عموماً به صورت واضح اعالم می شود:
• به طور مثال سپرده20 درصدی ارزش زمانی پول اما در برخی موارد، فرد یا نهاد قرض گیرنده عالوه بر پرداخت بهره مزایای دیگری در اختیار فرد قرض دهنده قرار می دهد به طور مثال تخفیف کارمزد امور بانکی .
• این گونه مزایا نیز باید در محاسبه نرخ بهره لحاظ شوند .به این نرخ بهره محاسباتی « نرخ بهره ضمنی »نیز گفته می شود .
• نرخ بهره مرکب مفروضات بهره مرکب محاسبه بهره مرکب اقساط مرکب آتی بهره مؤثر نرخ بهره مرکب:
• در محاسبات این فصل فرض بر آن است که پرداخت و دریافت بهره از نوعی قطعیت و اطمینان برخوردار است .
• این فرض جهت ساده سازی محاسبات در نظر گرفته شده است .
• مفروضات دوره های مشخص زمانی: زمان را براساس دوره های ساالنه تقسیم بندی می کنیم.
• فاصله زمانی بین آخرین روز یک سال و آخرین روز سال بعد برابر یک سال است.
• یعنی به طور ،مثال سال ششم فاصله بین روز آخر سال پنجم و روز آخر سال ششم است.
• زمان ،حال پایان سال صفر است.
• P0 =اصل پول در زمان صفر i =نرخ بهره t =مدت زمان At =مجموع اصل و فرع پول یا ارزش آتی پول نرخ بهره مرکب:
• محاسبه محاسبه ارزش آتی پس از یک سال:
• محاسبه ارزش آتی پس از دو سال:
• فرض می کنیم سود دریافت شده در پایان سال اول در حساب باقی بماند و سرمایه گذاری شود:
• A1 = P0 + P0(i) = P0 (1 + i) A2 = A1 + A1(i) = A1 (1 + i) = P0 (1 + i)2 = P0(1 + i)(1 + i) نرخ بهره مرکب:
• محاسبه محاسبه ارزش آتی پس ازt سال:
• در اغلب کتب مالی جداولی تهیه گردیده است که مقدار (1+i)t را تحت نام عامل بهره ارزش مرکب به ازای مقادیر مختلفi وt محاسبه نموده اند .
• برای محاسبه ارزش آتی کافی است مقدار محاسبه شده در جدول را در سرمایه گذاری ضرب کرد .
• At = P0 (1 + i)t نرخ بهره مرکب:
• اقساط مرکب آتی اگر در سرمایه گذاری طیn سال، از سال صفر مبلغA به طور سالیانه با نرخ بهرهi سرمایه گذاری شود(و هیچ مبلغی از حساب سرمایه گذاری برداشته نشود ) ارزش آتی وجوه مزبور عبارت است از:
• همانند عامل بهره مرکب، عامل ارزش آتی اقساط مرکب نیز در اغلب کتب مالی در جداولی تهیه شده است .
• FVAn(Future Value of Annuities) = A (1 + i)n−1 i نرخ بهره مرکب:
• بهره مؤثر هنگامی که در بانک سپرده گذاری می کنیم یا اوراقی خریداری می کنیم که به صورت میان دوره ای ًمثال ماهانه یا هر سه ماه سود پرداخت ،می کند نرخ بهره واقعی از نرخ بهره اعالمی متفاوت است.
• بهره مؤثر فرض کنید مبلغ100 میلیون ریال را در حسابی با سود اعالمی(ظاهری ) درصد سرمایه گذاری کرده اید .
• این بدان معناست که بانک هر ماه به میزان1/5 درصد( تقسیم بر12 ) سود به حساب شما واریز می کند که برابر1/5 میلیون ریال است.
• در صورتی که شما سود واریزی را برداشت نکنید، به آن1/5 میلیون ریال نیز در ماه بعد سود تعلق می گیرد .
• بهره مؤثر این اتفاق همانند اتفاقی است در محاسبه ارزش آتی در مورد آن صحبت شد .
• بنابراین میزان سود دریافتی در انتهای سال بیشتر از سود18 درصد اعالمی(ظاهری ) خواهد بود و از رابطه زیر محاسبه می گردد:
• در این رابطهm برابر تعداد دفعات پرداخت سود در هر سال وi نرخ سود است .
• نرخ بهره مؤثر سالیانه= (1 + i m)m−1 تنزیل ارزش فعلی ارزش فعلی اقساط مساوی مادام العمر ارزش فعلی اقساط مساوی تنزیل:
• ارزش فعلی ارزش فعلی( Present Value ) به معنای ارزش حال حاضر وجوهی است که در آینده دریافت خواهد شد.
• در صورتی که نرخ هزینه سرمایه برابرi باشد، ارزش فعلی پولی کهn سال بعد دریافت می گردد برابر است با:
• همانند عامل بهره مرکب ،و عامل ارزش آتی عامل ارزش فعلی نیز در اغلب کتب مالی در جداولی تهیه شده است .